Алгебра. Графики линейных уравнений и неравенств
Необходимость решать линейные уравнения и строить их графики еще в древности была вызвана человеческой потребностью решать различные задачи, связанные с нахождением площади земельных участков, а также с постепенным развитием астрономии и конечно самой математики.
Линейные уравнения
Уравнения возникли в связи с потребностью решения разнообразных задач, в которых это было не обходимо. Обычно в этих задачах необходимо найти одну неизвестную, зная результаты некоторых действий, которые произведены над искомыми величинами. Эти задачи сводятся к нахождению искомых величин с помощью алгебраических действий с данными величинами.
Некоторые алгебраические методы и приемы решения линейных уравнений, в том числе геометрический с помощью построения графиков были известны еще 3000 лет назад в Древнем Вавилоне.
Линейные неравенства
Неравенства в первой степени, или же, как их называют, линейные неравенства, — это вида ax+by+c≥0.
Эти неравенства также были описаны порядка 3000 лет назад. Они были известны как в древнем Египте, Вавилоне так и в других древних цивилизациях. Причиной появление данного понятия в простейшей алгебре также послужили вопросы и задачи раздела земли, освоения азов астрономии и других различных задач.
Родоначальниками уравнений и неравенств можно назвать множество людей, например Диофанта не показывал систематической алгебры, однако в ней содержался систематизированный ряд задач, которые сопровождались объяснениями и построениями различных графиков. Также уравнения и неравенства встречаются в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», который был составлен в 499 г. индийским астрономом Ариабхаттой.
В Древней Индии были очень популярны публичные соревнования по решению трудных задач алгебры, которые сейчас нам кажутся элементарными.
Алгоритмы построения графиков линейных неравенств и графиков линейных уравнений абсолютно идентичны. Стоит отметить что как в неравенствах так и уравнениях мы имеем линейную зависимость одной переменной от другой, т.е У есть функция от Х, у=ах+b.
Графики строятся табличным способом. Составляем таблицу в которой берем произвольно два значения Х, подставляя их в уравнения высчитываем соответствующие значении функции У.
| Х | Х1 | Х2 |
| У | У1 | Н2 |
После чего начинается построение:
- Для начала строится обыкновенная декартовая система координат с осями Х и У.
- В этой системе откладываем обе точки с координатами M1(Х1;У1), М2(Х2;У2).
- Соединяем полученные отрезки прямой линией.
Эта линия и является графиком линейного уравнения.
Если же взять неравенства то построение происходит аналогично, решением будет являться одна из полуплоскостей. Какая именно полуплоскость определяется исходя из самого неравенства и знака стоящего в нем. Если взять произвольную точку из любой из плоскостей и подставить неравенство, то возможны два варианта:
- Неравенство обращается в верное равенство что означает, что эта полуплоскость является решением;
- Неравенство обращается в неверное равенство, что означает что решением является вторая полуплоскость.
