Многочлены
Еще в начале XVI века, когда постепенно познавались глубины математики, а теорем было не так уж и много, уже пытались сформулировать теорию о многочленах, признавая ее одной из главных теорем алгебры.
История многочленов начинается отсюда
Первым предложил свою трактовку этой теоремы Альбер де Жирар в 1629 г., но, к сожалению, дальше сформулированного утверждения дело не дошло. На протяжении 18 века такие известные математики, как: Лангранж, Даламбер, Эйлер и Фонсене всячески пытались создать доказательство к теореме о многочленах, но, к огорчению последних, трактовки не признавались убедительными.
Общепризнанным доказательством теоремы о многочленах являются работы Карла Фридриха Гаусса. Немец, по происхождению, сын бедных учителей, в дальнейшем стал известным математиком, физиком, астрономом и геодезистом. Работы Гаусса, в частности, в математике принесли огромный вклад в развитие науки. Его, бесспорно, называли «королем математики».
Гаусс в 1799 г. привел несколько доказательств основной теоремы алгебры: «Число комплексных корней многочлена равно степени многочлена (при подсчете числа корней кратный корень считается столько же раз, сколько и его степень)». Далее и по сегодняшний день были приведены другие работы, связанные с многочленами, такие как: «Теорема Коши», «Теорема Лагерра», «Теорема Гаусса-Люка», «Гипотеза Сендова-Илиева», «Теорема Штурма», «Ряд Лагранжа-Бюрмана», «Признак Эйзенштейна» и др.
Многочлены классифицируются следующим образом
- Многочлен стандартного вида – это многочлен, являющийся суммой одночленов стандартного вида, который не содержит подобных членов.
- Многочлен нестандартного вида.
- Бином (или двучлен) – это величина, состоящая из двух членов, и представляющая собой их сумму или разность.
- Трином (трехчлен) – выражение, которое представляет собой сумму или разность трех членов. Трехчлен делится на такие виды: квадратный, биквадратный и двоичный.
- Полиномы с одной неизвестной – это алгебраическое выражение, в котором все члены, кроме последнего, равны нулю.
Также многочлены бывают
- однородными (все одночлены имеют одинаковую степень);
- унитарными (коэффициент одной переменной равен единице);
- приводимыми (произведения многочленов низших степеней);
- неприводимыми (обратный приводимому многочлену).
Многочлены играют весомую роль в математике
Поскольку они представляют собой довольно простые функции, то их дифференциация и интеграция не составляет большого труда. Поэтому любую непрерывную функцию на заданном отрезке можно приблизить многочленом, что дает возможность анализировать поведение и характер функции, находящейся вблизи этой точки.
Одну из главных ролей многочлены играют в алгебраической геометрии, изучающей множества, определенные как решения систем многочленов, т.к. они обладают свойствами, необходимыми при преобразовании коэффициентов умножения многочленов. Алгебраическая геометрия занимает центральное место в математике (в частности, коммутативной алгебре, математической физике, дифференциальной геометрии, теории чисел, топологии).
Начиная с 20 века многочлены стали использоваться для новых целей. Нужно было быстро и эффективно передавать информацию. Многочлены содержат в себе символьные исчисления, которые стали использовать как способ передачи данных. Сообщение должно было содержать в себе последовательность символов, которое потом передали по каналу связи. Однако при передаче информации могли возникнуть ошибки. Поэтому была предложена идея кодирования сообщения, которую успешно используют и в настоящее время.
